Vous marchez le long de la côte bretonne : vous suivez une courbe fractale de longueur infinie ! Vous utilisez un appareil GPS : vous faites de la relativité restreinte et générale ! Vous prenez l’avion : il part vers le nord, alors que vous allez à l’ouest ! Vous invitez vingt-cinq amis : deux d’entre eux ont la même date d’anniversaire ! Vous voyez le pendule de Foucault au Panthéon : il vous fait tourner autour de lui ! Vous jouez une gamme au piano : vous sautez d’un nombre rationnel à un autre ! Tout ce que vous devez savoir sur le nombre d’or, les nombres parfaits et amicaux, sur la quadrature du cercle et les courbes fractales, sur la vitesse de la lumière et les trous noirs, le théorème de Gödel et la relation d’incertitude, E = mc2 et le chaos… Ce livre est une invitation au voyage dans un monde mathématique et physique finalement si proche de notre quotidien.

Alexandre Moatti, ancien élève de l’École polytechnique, est ingénieur en chef du corps des Mines. Il est le concepteur du portail scientifique www.science.gouv.fr.

1. Couverture
2. Titre
3. Du même auteur chez Odile Jacob
4. Copyright
5. Dédicace
6. Préface
7. Avant-propos
8. Chapitre 1 - Pythagore et les nombres irrationnels
   1. Qu’est-ce qu’un nombre rationnel ?
   2. La diagonale du carré, est un nombre irrationnel
   3. La diagonale du carré, est un nombre irrationnel (bis)
9. Chapitre 2 - L’hôtel de Hilbert l’infini et le transfini
   1. Hilbert et son hôtel particulier
   2. Il y a autant de fractions que d’entiers !
   3. Les cardinaux transfinis
   4. Nombres algébriques et nombres transcendants
   5. Comment multiplier l’infini ℵ0 par le transfini ℵ1 ?
10. Chapitre 3 - Le raisonnement par récurrence suites infinies finies
    1. Que vaut la somme des n premiers nombres ?
    2. Le même résultat arithmétique obtenu de manière géométrique
    3. Quelques sommes arithmétiques
    4. Le nombre d’or comme limite d’une suite infinie
11. Chapitre 4 - Densité des nombres premiers
    1. Une infinité de nombres premiers
    2. Comment trouver 1 000 nombres non premiers consécutifs ?
    3. Un calcul fictif de nombres premiers : le nombre de Liouville-Erdös
    4. Les nombres de Fermat
    5. Les produits eulériens
    6. Les nombres premiers irréguliers
    7. D’autres conjectures, certaines encore indécidées
    8. Les nombres premiers à la base de la cryptographie
12. Chapitre 5 - Des nombres parfaits et amicaux
    1. Construction d’un nombre parfait
    2. Encore des conjectures indécidées…
    3. Autres propriétés des nombres parfaits
    4. Les nombres universels
13. Chapitre 6 - Pythagore, Descartes, Euler, des constructions géométriques
    1. Une infinité de triangles pythagoriciens
    2. Une démonstration géométrique du théorème de Pythagore
    3. Construction géométrique d’une racine carrée
    4. La droite d’Euler
14. Chapitre 7 - π, un nombre vraiment transcendant !
    1. Des irrationnels plus irrationnels que d’autres, les nombres transcendants
    2. Approche géométrique du nombre π
    3. Formules de calcul de π
    4. Où l’on retrouve π sans s’y attendre
15. Chapitre 8 - Vivons-nous dans une géométrie euclidienne ?
    1. Les axiomes de la géométrie euclidienne
    2. Le plus court chemin pour aller à l’ouest, c’est le nord
    3. Des géométries non euclidiennes
16. Chapitre 9 - Limites de la logique le théorème de Gödel
    1. Le paradoxe de Russell
    2. Les axiomes d’une théorie mathématique
    3. Le paradoxe de Richard
    4. Un aperçu du théorème de Gödel (1931)
    5. Les « nombres de Gödel », ses outils mathématiques
    6. Une esquisse du théorème de Gödel
    7. La « gödelite », ou des interprétations très extensives du travail de Gödel
17. Chapitre 10 - Incertaines probabilités
    1. Les probabilités de gain des joueurs sont proportionnelles à leurs fortunes !
    2. Si un événement a une probabilité , y a-t-il une chance sur deux qu’il se produise avant le 50e coup ? 
    3. Les probabilités des causes
    4. Les dates d’anniversaire communes
    5. Les « portes de la mort », de fausses amies
    6. Le paradoxe de Condorcet
    7. π, les probabilités, les nombres premiers
18. Chapitre 11 - Du pendule au gyroscope : voir tourner la Terre
    1. Période de rotation du pendule de Foucault
    2. Le pendule de Foucault, une approche de la relativité des mouvements de rotation
    3. La force de Coriolis
    4. La force de Coriolis autour de nous : manèges, météorologie…
    5. Le gyroscope et la conservation de l’axe de rotation
19. Chapitre 12 - Le son, une onde aux bonnes vibrations
    1. Fréquences des sons musicaux
    2. Pourquoi l’avion supersonique fait-il bang ?
    3. L’effet Doppler pour les ondes sonores et lumineuses
20. Chapitre 13 - Vitesse et nature de la lumière : 250 ans de Römer (1676) à de Broglie (1926)
    1. Le caractère fini de la vitesse de la lumière : l’éclipse des satellites de Jupiter vue par Römer (1676)
    2. Confirmation de l’héliocentrisme et mesure plus précise de la vitesse de la lumière : l’aberration des étoiles vue par Bradley (1728)
    3. Nature de la lumière au XVIIIe siècle : un faisceau de particules ?
    4. Nature de la lumière au XIXe siècle : une onde !
    5. xxe siècle : la dualité onde-corpuscule, 25 « années-lumière »
21. Chapitre 14 - Quelques notions de relativité restreinte
    1. Quelques repères
    2. Simultanéité de deux événements et relativité de la notion de temps
    3. Équations de la mécanique relativiste
    4. Discussion sur le cône de lumière
    5. Conservation de la quantité de mouvement Masse relativiste
    6. Équivalence masse-énergie ; E = mc2
    7. Une introduction à la relativité générale (1915)
22. Chapitre 15 - Preuves expérimentales et applications de la relativité
    1. Le premier test : l’avance du périhélie de Mercure (novembre 1915)
    2. Le deuxième test : la déviation des rayons lumineux par le Soleil (éclipse de 1919)
    3. Le troisième test : le déplacement des raies d’un spectre lumineux
    4. Une application de la relativité : la correction d’horloges dans le GPS
23. Chapitre 16 - Et si Dieu existe, qui l’a créé, lui ?
    1. L’expansion de l’Univers – la théorie du big bang
    2. Des corps obscurs aux trous noirs
    3. Observations sur l’espace
24. Chapitre 17 - De la main de Mme Röntgen à la fission nucléaire
    1. L’artefact d’une fluorescence inattendue
    2. Un autre artefact, mais ce n’est plus de la fluorescence !
    3. Les trois types de radioactivité naturelle
    4. La fission nucléaire
25. Chapitre 18 - La discontinuité quantique
    1. L’effet photoélectrique La catastrophe ultraviolette
    2. Les quanta d’échange de Planck, puis les quanta de lumière d’Einstein
    3. Niels Bohr et la quantification de la matière
    4. Le principe d’indétermination d’Heisenberg (1927)
    5. Un prince dans la nouvelle physique
    6. La preuve expérimentale du caractère ondulatoire de la matière : la diffraction des électrons (1927)
26. Chapitre 19 - Physique quantique, vérification et paradoxes
    1. « Dieu ne joue pas aux dés »
    2. Le chat de Schrödinger
    3. Le paradoxe Einstein-Podolski-Rosen (EPR) (1935)
    4. L’inégalité de Bell, une grande étape de logique mathématique et physique
    5. Résolution expérimentale et interprétations
    6. Quelques interprétations du passage de l’observable quantique à l’observable macroscopique
27. Chapitre 20 - Les fractales de Mandelbrot
    1. Construction d’une fractale, la courbe de von Koch
    2. La courbe fractale, une dimension non entière !
    3. D’autres exemples de courbes fractales
    4. L’ensemble de Cantor, ou une fractale de dimension inférieure à 1
28. Chapitre 21 - Le chaos déterministe
    1. 1961, le chaos se révèle dans la météorologie
    2. Des systèmes déterministes et pourtant chaotiques
    3. Exemples de systèmes chaotiques : le billard convexe
    4. Le plan de Poincaré des orbites stellaires
    5. Trajectoires fractales – attracteur de Lorenz
    6. L’homme dans le chaos
29. Bibliographie
    1. Arithmétique, théorie des nombres
    2. Géométrie
    3. Logique-théorème de Gödel
    4. Probabilités
    5. Vitesse de la lumière-Théorie de la relativité
    6. Astronomie-Cosmologie
    7. Physique quantique
    8. Radioactivité
    9. Théorie du chaos-Fractales
    10. Ouvrages généraux (mathématiques)
    11. Ouvrages généraux (physique)
30. Index des principaux noms cités (par ordre chronologique)
31. Remerciements