Comment voit-on le monde avec des lunettes mathématiques ? C'est ce que Claude-Paul Bruter explique à propos des notions fondamentales de la discipline, du théorème de Thalès aux formes différentielles, en explorant les notions d'espace vectoriel et de courbure, le théorème des fonctions implicites et la caractéristique d'Euler-Poincaré, les différentes géométries et les surfaces topologiques. Conçu en partie pour les étudiants, cet ouvrage est accessible à tous les curieux des choses mathématiques.

Claude-Paul Bruter est professeur de mathématiques à l'université de Paris-XII-Créteil.

1. Couverture
2. Titre
3. Copyright
4. Dédicace
5. Introduction
6. Première partie - Des mathématiques pour quoi faire ?
   1. Chapitre I - Sur la pertinence des mathématiques
      1. Les mathématiques et les sciences fondamentales
      2. Les mathématiques et les sciences appliquées
      3. Sur diverses conceptions de l’emploi des mathématiques
      4. Les mathématiques et la formation de la pensée
      5. Sur la pertinence psychologique des mathématiques
   2. Chapitre II - La mathématique, science expérimentale ?
      1. La mathématique, science de représentation et d’observation
      2. La mathématique, science active
      3. Les mathématiques et l’hypothèse
      4. Les mathématiques et la preuve
   3. Chapitre III - Les leçons pédagogiques d’Henri Poincaré
      1. Les buts des mathématiques et de leur enseignement
      2. Les rapports entre les mathématiques et les autres sciences
      3. Principes et formes de la pédagogie
      4. Sujets d’enseignement
   4. Chapitre IV - Degrés de rationalité en mathématiques
7. Deuxième partie - Faire des mathématiques
   1. Chapitre I - Le théorème de Thalès ou l’invariant métrique fondamental de la géométrie euclidienne
      1. Les énoncés classiques
      2. Version moderne
      3. Commentaires et conséquences
   2. Chapitre II - Les deux sources de l’algèbre linéaire et la notion d’espace vectoriel
      1. Une des premières théories physiques : l’optique géométrique
      2. La notion de force
      3. La notion d’espace vectoriel
   3. Chapitre III - Volumes dans un espace vectoriel : la notion de déterminant
      1. Les dimensions 0, 1 et 2
      2. Les dimensions supérieures
      3. Usage le plus fréquent du déterminant
   4. Chapitre IV - La classification des applications linéaires
      1. La classification des applications linéaires en dimension 1
      2. La classification des applications linéaires en dimension 2
      3. Cas particulier d’une projection parallèle à une direction
      4. Classification des applications linéaires entre espaces vectoriels de dimension quelconque
   5. Chapitre V - Prémisses de la géométrie : produits scalaires, longueurs ou formes quadratiques
      1. Produit scalaire
      2. Longueurs ou formes quadratiques
      3. Bibliosphère
      4. Longueurs, distances et analyse
   6. Chapitre VI - Géométries bidimensionnelles
      1. La notion de surface topologique
      2. Métriques sur une surface
      3. Courbure d’une courbe, courbure d’une surface
      4. Les différents types de géométrie
      5. Les transformations du cartographe
      6. Quelques propriétés géométriques des surfaces
      7. Isométries
   7. Chapitre VII - Le théorème des fonctions implicites
      1. Le cadre géométrique d’une équation implicite
      2. Traduction analytique de la verticalité
      3. Le théorème des fonctions implicites en dimension 2
      4. Formulations plus générales
      5. Points critiques, réguliers, singuliers
   8. Chapitre VIII - Construction des surfaces topologiques réelles
      1. Principes de construction
      2. k = 0 : le diadème continu
      3. k = 1 : le vase ou le ballon percé ; la poche croisée
      4. k = 2 : la 2-sphère standard ; la sphère croisée ou plan projectif réel
      5. k = 4 : le tube ; le ruban de Möbius ; le tore T2 ; la bouteille de Klein ; la 2-sphère S2 ; le plan projectif P(R2)
      6. Le modèle de Boy de l’espace projectif
      7. Les surfaces en tant que sphères à anses
   9. Chapitre IX - Un invariant de forme : la caractéristique d’Euler-Poincaré
      1. La dimension 1
      2. La dimension 2
      3. Le cas général
      4. Principe du calcul de la caractéristique d’Euler-Poincaré par les méthodes relevant de l’analyse différentielle
      5. Le lien entre les deux approches
      6. Le théorème de Gauss-Bonnet
   10. Chapitre X - Calcul extérieur et formes différentielles : Une initiation
       1. Préliminaires
       2. Formes différentielles de degré 0 et 1
       3. Formes différentielles de degré supérieur
       4. Dérivation extérieure des formes différentielles
       5. Les résultats principaux
   11. Chapitre XI - Questions et réponses
       1. QUESTIONS
          1. Chapitre I
          2. Chapitre II
          3. Chapitre III
          4. Chapitre IV
          5. Chapitre V
          6. Chapitre VI
          7. Chapitre VII
          8. Chapitre VIII
          9. Chapitre IX
          10. Chapitre X
       2. RÉPONSES
          1. Chapitre I
          2. Chapitre II
          3. Chapitre III
          4. Chapitre IV
          5. Chapitre V
          6. Chapitre VI
          7. Chapitre VII
          8. Chapitre VIII
          9. Chapitre IX
          10. Chapitre X
8. Conclusion - Mathématiques, mythe et poésie
9. Bibliographie
10. Index
11. Table